Question

用向量法證明：三角形的三條高線交于一點(diǎn).

Answer 1

證明：如圖，AD、BE、CF是△ABC的三條高，設(shè)BE、CF交于點(diǎn)H.

證法一：設(shè)=a，=b，=h，

則=h-a，=h-b，=b-a，

∵⊥，⊥，

∴(h-a)·b=0，(h-b)·a=0.

∴(h-a)·b=(h-b)·a.

化簡得h·(b-a)=0.

∴⊥.∴AH與AD重合，即AD、BE、CF交于一點(diǎn).

證法二：設(shè)=a，=b，=c，則=b-a，=c-a，=b-c，

∵⊥，⊥，∴b·(c-a)=0，c·(b-a)=0.

∴b·(c-a)=c·(b-a).∴a·b=a·c，即a·(b-c)=0.

∴⊥，故AD、BE、CF交于一點(diǎn).