Question

用向量法證明三角形的三條高線交于一點(diǎn).

Answer 1

思路分析：可設(shè)兩條高線交于一點(diǎn),只要證明第三條高也過(guò)此點(diǎn)即可.

證明：如圖,設(shè)△ABC的BC、CA兩邊上的高交于點(diǎn)P.再證PC⊥AB.

設(shè)=a,=b,=c,則=b-a,=c-b, =a-c.

∵⊥,⊥,

∴a·(c-b)=0,

即a·c=a·b;b·(a-c)=0,

即a·b=b·c.

從而a·c=b·c,

即c·(b-a)=0.

所以⊥,即PC⊥AB.

這就證明了點(diǎn)P在△ABC的第三邊AB的高線上,所以△ABC的三條高線交于一點(diǎn).

方法歸納 證明三線共點(diǎn),常變換思維方式,以減少思維量.對(duì)于垂直這種特殊情況常先借助向量垂直的充要條件,再進(jìn)一步進(jìn)行向量運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題.