Question

設(shè)a＞0，b＞0，c＞0，a²+b²=c²，求證：n≥3（n∈N⁺）時(shí)，aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：依題意，a²＜c²，b²＜c²，

c

a

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證得n≥3（n∈N⁺）時(shí)，
aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

解答： 證明：∵a、b、c∈R⁺，a²+b²=c²，
∴（

a

c

）²+（

b

c

）²=1，
∴

a

c

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），
∵y=（

a

c

）^x與y=（

b

c

）^x均為減函數(shù)，
∴當(dāng)n≥3（n∈N⁺）時(shí)（

a

c

）ⁿ＜（

a

c

）²，（

b

c

）ⁿ＜（

b

c

）²；
∴當(dāng)n≥3（n∈N⁺）時(shí)（

a

c

）ⁿ+（

b

c

）ⁿ＜（

a

c

）²+（

b

c

）²=1，
即n≥3（n∈N⁺）時(shí)，aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式證明，突出考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想與推理分析的能力，屬于中檔題．