Question

已知點(diǎn)P是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，若PF₁⊥PF₂，tan∠PF₂F₁=2，則橢圓的離心率e=（　�。�

• A、

  5

  3

• B、

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出|PF₂|=

2

3

a，則|PF₁|=

4

3

a，由勾股定理得到

4

9

a2+

16

9

a2=4c²，由此能求出橢圓的離心率．

解答：解：∵點(diǎn)P是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，
PF₁⊥PF₂，tan∠PF₂F₁=2，
∴

|PF1|

|PF2|

=2，設(shè)|PF₂|=x，則|PF₁|=2x，
由橢圓定義知x+2x=2a，∴x=

2a

3

，
∴|PF₂|=

2

3

a，則|PF₁|=

4

3

a，
由勾股定理知|PF₂|²+|PF₁|²=|F₁F₂|²，
∴

4

9

a2+

16

9

a2=4c²，解得c=

5

3

a，
∴e=

c

a

=

5

3

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用．