Question

已知橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）的左頂點為A，右焦點為F，點B在橢圓上．BC⊥x軸，點C在x軸正半軸上．如果△ABC的角A，B，C所對邊分別為a，b，c，其它的面積S滿足5S=b²-（a²-c²），則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  5

• C、

  2

  2

• D、

  2

  4

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：取特殊值，令C與F重合，得到a=

n2

m

，b=m+c，由此利用已知條件結合勾股定理得到

n2 m

m+c

=

4

5

，從而能求出橢圓的離心率．

解答：解：∵橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）的左頂點為A，右焦點為F，
點B在橢圓上．BC⊥x軸，點C在x軸正半軸上．
∴取特殊值，如圖，令C與F重合，
則a=

n2

m

，b=m+c，
∵△ABC的角A，B，C所對邊分別為a，b，c，
它的面積S滿足5S=b²-（a²-c²），
∴5S=b²-a²+a²+b²=2b²，
∵S=

1

2

ab，∴

5

2

ab=2b2，∴

a

b

=

4

5

，
∴

n2 m

m+c

=

4

5

，
整理，得4m²+4mc=5n²=5（m²-c²），
∴4mc+5c²=m²，∴5e²+4e-1=0，
解得e=

1

5

或e=-1（舍）．
故選：B．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時恰當?shù)剡\用特殊值法，是快速解答選擇題的好辦法．