Question

若點(diǎn)O和F分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心和左焦點(diǎn)，過O做直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若|

PQ

|的最大值是4，△PFQ周長L的最小值為6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l經(jīng)過定點(diǎn)（0，2），且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)（-c，0），則Q（-x₀，-y₀），c²=a²-b²，由|PQ|≤2a=4，L=|PQ|+|PF|+|QF|≥2a+2b=6，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為y=kx+2，由

x2+4y2=4 y=kx+2

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，由原點(diǎn)O到直線的距離d=

2

1+k2

，由此能求出△OAB面積的最大值為1．

解答： 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)（-c，0），則Q（-x₀，-y₀），c²=a²-b²，
∵|PQ|≤2a=4，∴a=2，
又∵L=|PQ|+|PF|+|QF|
=

(x0+c)2+y02

+

(x0-c)2+y02

+

2x02+2y02

=2a+2

x02+y02

≥2a+2b=6，∴b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）依題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，
則直線的方程為y=kx+2，
由

x2+4y2=4 y=kx+2

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-4（4k²+1）×12=16（4k²-3），
由△＞0得4k²-3＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

-16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( -16k 4k2+1 )2-4• 12 4k2+1

，
又∵原點(diǎn)O到直線的距離d=

2

1+k2

，
∴S△OAB=

1

2

×|AB|×d
=4

4k2-3 (1+4k2)2

=4

4k2-3 (4k2-3)2+8(4k2-3)+16

=4

1 4k2-3+ 16 4k2-3 +8

≤4

1 16

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)4k2-3=

16

4k2-3

，即4k²-3=4時(shí)等號成立，
此時(shí)△OAB面積的最大值為1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．