Question

【題目】已知函數(shù),,其中.

(Ⅰ) 判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

(Ⅱ) 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且有極值點(diǎn).

(ⅰ) 試判斷當(dāng)時(shí), 是否滿(mǎn)足題目的條件,并說(shuō)明理由；

(ⅱ) 設(shè)函數(shù)的極小值點(diǎn)為,求證: .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析； (Ⅱ) (ⅰ)滿(mǎn)足 ，理由見(jiàn)解析 (ⅱ)見(jiàn)解析.

【解析】

(Ⅰ)求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合參數(shù)b的取值范圍，分類(lèi)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

(Ⅱ) (ⅰ)代入b=2，求得，可判斷定義域滿(mǎn)足題目的條件，再利用零點(diǎn)存在性定理，判斷函數(shù)有極點(diǎn)；

(ⅱ)先根據(jù)滿(mǎn)足題目條件，求出b的取值范圍，以及b關(guān)于x的函數(shù)式，并判斷有兩個(gè)極值點(diǎn)，再根據(jù)取極小值時(shí)函數(shù)式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和x0的取值范圍，證明不等式成立.

(Ⅰ),

若,則,故在上遞增；

若,由解得,,

當(dāng),解得,此時(shí)當(dāng),,時(shí),,結(jié)合時(shí)，x=

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí),解得,由得,由得-2<或,結(jié)合時(shí)，x=所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；其中,

(Ⅱ).

(ⅰ)當(dāng)時(shí),,此時(shí)的定義域?yàn)?/span>,

,又,

所以在上有變號(hào)，有零點(diǎn),

所以有極值,即時(shí),滿(mǎn)足題目的條件.

(ⅱ),因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>,故,即.

,令,得,設(shè),

則,當(dāng)時(shí),,遞增,當(dāng)時(shí),,遞減,

所以,所以,即時(shí)，滿(mǎn)足的定義域?yàn)镽且有極點(diǎn).此時(shí)有且只有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),一個(gè)為的極大值點(diǎn),一個(gè)為極小值點(diǎn),且極小值點(diǎn)大于,

故且唯一,又,

設(shè),則,所以在上遞增,

又4>,所以,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可判斷0<,

所以.