Question

已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線的斜率是．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）求在區(qū)間上的最大值；

（3）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為

直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在軸上？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當(dāng)，即時(shí)，在上的最大值為2，當(dāng)，即時(shí)，在上的最大值為（3）曲線上存在兩點(diǎn)滿足要求

【解析】

試題分析：（I）當(dāng)時(shí)，則． （1分）

依題意，得 即，解得．    （3分）

（II）由（1）知，

①當(dāng)時(shí)

令得或                    （4分）

當(dāng)變化時(shí)的變化情況如表：

		0			（）
	-	0	+	0	-
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

又

所以在上的最大值為．                    （6分）

②當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)， ，所以的最大值為0 ；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為．（7分）

綜上所述，

當(dāng)，即時(shí)，在上的最大值為2；

當(dāng)，即時(shí)，在上的最大值為 ．     （8分） 

（III）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)只能在y軸的兩側(cè)．

不妨設(shè)，則，顯然

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061311522138366573/SYS201306131153233211638589_DA.files/image043.png">是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

所以，即    ①

若方程①有解，則存在滿足題意的兩點(diǎn)；若方程①無解，則不存在滿足題意的兩點(diǎn)

若，則，代入①式得，

即，而此方程無實(shí)數(shù)解，因此．             （10分）

此時(shí)，代入①式得,即   ②

令，則，所以在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061311522138366573/SYS201306131153233211638589_DA.files/image059.png">，所以，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為．所以對于，方程②總有解，即方程①總有解．

因此對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上．                （12分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)最值

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處的切線斜率，利用導(dǎo)數(shù)求最值時(shí)最值點(diǎn)一般出現(xiàn)在極值點(diǎn)處或端點(diǎn)處，另本題中求最值時(shí)要注意對的討論