Question

已知函數(shù)的圖像過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在點(diǎn) 處的切線斜率為.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2） 求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（Ⅲ）若函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)，使得對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)都滿足是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且三角形斜邊中點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（Ⅲ）點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．

【解析】

試題分析：（1）求實(shí)數(shù)的值求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率是，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及當(dāng)時(shí)，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得，，依題意，可求出，又因?yàn)?/span>圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即可求得實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，當(dāng)時(shí)，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，令，解出的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算導(dǎo)數(shù)等零點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值，從而可得函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（Ⅲ）設(shè)，因?yàn)?/span>中點(diǎn)在軸上，所以，根據(jù)，可得，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的解析式，利用，即可求得結(jié)論．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，

依題意，

又 故 3分

（2）當(dāng)時(shí)，

令有，故在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；

在單調(diào)遞減．又,

所以當(dāng)時(shí)， 6分

（Ⅲ）設(shè)，因?yàn)?/span>中點(diǎn)在軸上，所以

又 ①

（�。┊�(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故①不成立 7分

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，代人①得：

，

無(wú)解 8分

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，代人①得：

②

設(shè)，則是增函數(shù).

的值域是． 10分

所以對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，②恒有解，故滿足條件．

（ⅳ）由橫坐標(biāo)的對(duì)稱性同理可得，當(dāng)時(shí)，

，代人①得：

③

設(shè)，令，則由上面知

的值域是的值域?yàn)?/span>.

所以對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，③恒有解，故滿足條件。 12分

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為 14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．