Question

設(shè)離心率的橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是x軸正半軸上一點(diǎn)，以PF₁為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓M短軸端點(diǎn)，且該圓和直線相切，過(guò)點(diǎn)P直線橢圓M相交于相異兩點(diǎn)A、C．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若相異兩點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線BC交x軸與點(diǎn)Q，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)圓所過(guò)短軸端點(diǎn)為N，由|NF₁|=a，∠PNF₁=，，可判斷F₂（c，0）是以PF₁為直徑的圓的圓心，根據(jù)圓和直線相切可得，據(jù)此解得c值，從而得到a，b；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則點(diǎn)B（x₁，-y₁），設(shè)直線PA的方程為y=k（x-3），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，寫(xiě)出直線BC的方程，令y=0可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，代入韋達(dá)定理即可求得其值，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
解答：解：（Ⅰ）設(shè)以PF₁為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓M短軸端點(diǎn)N，
∴|NF₁|=a，∠PNF₁=，∵，∴a=2c，
∴，|F₁P|=2a．
∴F₂（c，0）是以PF₁為直徑的圓的圓心，
∵該圓和直線相切，
∴，
∴，
∴橢圓M的方程為：．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則點(diǎn)B（x₁，-y₁），
設(shè)直線PA的方程為y=k（x-3），聯(lián)立方程組，
化簡(jiǎn)整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0得．
則．
直線BC的方程為：，
令y=0，則，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析解決能力，韋達(dá)定理、判別式是常用內(nèi)容，要牢固掌握．