Question

已知矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)P（2，0），邊AB所在直線的方程為x-3y-6=0，點(diǎn)T（-1，1）在邊AD所在的直線上．
（1）求矩形ABCD的外接圓P的方程；
（2）△AEF是圓P的內(nèi)接三角形，其重心G的坐標(biāo)是（1，1），求直線EF的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)對角線的性質(zhì)以及直線方程即可求矩形ABCD的外接圓P的方程；
（2）根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），∵KAB=

1

3

且AB⊥AD，
∴K_AD=-3，又T（-1，1）在AD上，
∴

x-3y-6=0 y-1 x+1 =-3

，∴

x=0 y=-2

，
即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
又P點(diǎn)是矩形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)，
∴P點(diǎn)（2，0）即為矩形ABCD外接圓的圓心，其半徑r=|PA|=2

2

，
即圓P的方程為（x-2）²+y²=8．
（2）連AG延長交BC于點(diǎn)M（x₀，y₀）（3），則M點(diǎn)是EF的中點(diǎn)，連PM
∵G是△AEF的重心，
∴

AG

=2

GM

，
∴（1，3）=2（x₀-1，y₀-1），解得

x0= 3 2 y0= 5 2

，
∵P是圓心，M是EF中點(diǎn)∴PM⊥EF且K_PM=-5
∴KEF=

1

5

，
即直線EF的方程為y-

5

2

=

1

5

(x-

3

2

)，
即x-5y+11=0．

點(diǎn)評：本題主要考查圓的方程的求解以及直線方程的應(yīng)用，綜合考查直線的求解．