Question

設(shè)向量，，
（1）求||的最大值；
（2）若與垂直，求tan（α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，由和的坐標(biāo)，表示出+的模，利用完全平方公式展開(kāi)后，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，合并后，由正弦函數(shù)的值域即可得所求式子的最大值；
（2）由若與垂直，得到兩向量數(shù)量積為0列出關(guān)系式，利用平面向量的數(shù)量積計(jì)算后，去括號(hào)合并，再利用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，最后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切，即可求出tan（α+β）的值．
解答：解：（1）
故…（3分）
=（當(dāng)且僅當(dāng)sin2β=-1時(shí)取“=”），
故的最大值為；…（6分）
（2）由知：
（4cosα，sinα）•（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ）=0，…（8分）
即 4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
化簡(jiǎn)得 sin（α+β）-2cos（α+β）=0，…（11分）
故tan（α+β）=2．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律，向量的模，正弦函數(shù)的值域，二倍角的正弦函數(shù)公式以及兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握法則及公式是解本題的關(guān)鍵．