Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2．
（1）證明：面PAD⊥面PCD；
（2）求直線DC與面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：PA⊥CD，因為ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，所以CD⊥AD，再根據(jù)線面垂直的判定定理得到線面垂直進而得到面面垂直．
（2）根據(jù)題意建立坐標系，求出平面的法向量，并且寫出平面的有關斜線所在的向量，再利用向量的關于計算線面角．
解答：解：（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，CD?面ABCD∴PA⊥CD
又ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
∴CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD             
（2）解：以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），
所以，
設平面PBC的法向量為，
由，
可得，
設直線DC與面PBC所成的角為θ，
有，
∴直線DC與面PBC所成的角的正弦值為．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到線面的一些平行與垂直關系，并且利于建立坐標系利用向量解決空間角問題．