Question

在平面直角坐標系中，定義d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|為P（x₁，y_1），Q（x₂，y₂）兩點之間的“折線距離”，則橢圓

x2

2

+y2=1上一點P與直線3x+4y-12=0上一點Q的“折線距離”的最小值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,新定義,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)新定義，利用參數(shù)法，表示出橢圓

x2

2

+y2=1上一點P與直線3x+4y-12=0上一點Q的“折線距離”，然后分類討論求出最小值．

解答： 解：設直線3x+4y-12=0上的任意一點坐標（x，3-

3

4

x），橢圓

x2

2

+y2=1上任意一點的坐標為（

2

cosθ，sinθ）
由題意可知：d=|x-

2

cosθ|+|3-

3

4

x-sinθ|
分類討論：
①x≥4-

4

3

sinθ，d=x-

2

cosθ-3+

3

4

x+sinθ=

7

4

x-3-

2

cosθ+sinθ≥4-

2

cosθ-

4

3

sinθ
=4-

34

3

sin（θ+α）≥

12- 34

3

②4-

4

3

sinθ＞x＞

2

cosθ解同上
③x≤

2

cosθ，d=-（x-

2

cosθ-3+

3

4

x+sinθ）=-（

7

4

x-3-

2

cosθ+sinθ）≥-

3 2

4

cosθ-sinθ+3
=3+

34

4

sin（θ+β）≥

12- 34

4

．
∴橢圓

x2

2

+y2=1上一點P與直線3x+4y-12=0上一點Q的“折線距離”的最小值為

12- 34

4

．
故答案為：

12- 34

4

．

點評：本題是中檔題，考查新定義，利用新定義求出函數(shù)的最小值問題，考查計算能力，對新定義的理解和靈活運應是解好本題的關鍵．