Question

已知函數(shù)f（x）=ax-x²-lnx在（1，+∞）上是減函數(shù)，求g（x）=e^2x-ae^x-1在[ln

1

3

，0]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：求出f（x）的導函數(shù)，據(jù)導函數(shù)的符號與函數(shù)單調性的關系，令導函數(shù)小于等于0恒成立，分離出a，利用函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范圍．通過換元將函數(shù)g（x）轉化為二次函數(shù)，通過對對稱軸與定義域位置關系的討論，分情況求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=ax-x²-lnx，導數(shù)f′（x）=a-2x-

1

x

，
∵f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴a-2x-

1

x

≤0在（1，+∞）上恒成立，
即a≤2x+

1

x

恒成立，
∴只需a≤（2x+

1

x

）_min即可．
由于（2x+

1

x

）′=2-

1

x2

＞0，則（1，+∞）為增區(qū)間，則有a≤3．
再設e^x=t，∵x∈[ln

1

3

，0]，則t∈[

1

3

，1]．
設h（t）=t²-at-1=（t-

a

2

）²-（1+

a2

4

），
其對稱軸t=

a

2

，由a≤3，則t=

a

2

≤

3

2

，
則當

a

2

≤

1

3

時，[

1

3

，1]為增區(qū)間，g（x）的最小值為h（

1

3

）=-

8

9

-

1

3

a；
當1≤

a

2

≤

3

2

時，[

1

3

，1]為減區(qū)間，g（x）的最小值為h（1）=-a；
當

1

3

＜

a

2

＜1時，g（x）的最小值為h（

a

2

）=-（1+

a2

4

）．
則g（x）的最小值為h（a）=

- 8 9 - 1 3 a，a≤ 2 3 -1- a2 4 ， 2 3 ＜a＜2 -a，2≤a≤3

點評：解決函數(shù)的單調性已知求參數(shù)的范圍問題，常求出導函數(shù)，令導函數(shù)大于等于（或小于等于）0恒成立；解決不等式恒成立問題常分離參數(shù)轉化為求函數(shù)的最值；通過換元法解題時，一定注意新變量的范圍．