Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝ (a∈R)．

(1)若f(x)在x＝0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

(2)若f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）3x－ey＝0（2）

【解析】

（1）先根據(jù)極值定義得a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，（2）先求導(dǎo)數(shù)，解得導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)條件得零點(diǎn)與3的關(guān)系，解分式不等式得a的取值范圍．

解　(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得

f′(x)＝

＝，

因?yàn)?/span>f(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0.

當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，從而f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－＝ (x－1)，化簡(jiǎn)得3x－ey＝0.

(2)由(1)知f′(x)＝.

令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，

由g(x)＝0解得x1＝，

x2＝.

當(dāng)x＜x1時(shí)，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)為減函數(shù)；

當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)為增函數(shù)；

當(dāng)x＞x2時(shí)，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)為減函數(shù)．

由f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，知x2＝≤3，解得a≥－，

故a的取值范圍為.