Question

在△ABC中，A，B，C是三內角，當sinC（cosAcosB+sinAsinB）-

3

cos（A+B）取得最大值時，則A=（　�。�

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  5π

  12

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：由題意根據三角函數中的恒等變換應用可得

cos2(A-B)+3

sin（A+B+φ）≤2sin（A+B+φ）≤2，從而解得A=B，由原式=2sin（2A-

π

3

）=2，結合角A的范圍即可得解．

解答： 解：原式=sin（A+B）cos（A-B）-

3

cos（A+B），再根據輔助角公式，
=

cos2(A-B)+3

sin（A+B+φ）≤2sin（A+B+φ）≤2．
當且僅當cos（A-B）=1取得最大，所以A=B，
此時，原式=2sin（A+B-

π

3

）=2sin（2A-

π

3

）=2，
從而可得：2A-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，由A為三角形內角，
即可解得：A=

5π

12

．
故選：D．

點評：本題主要考查了輔助角公式，三角函數中的恒等變換應用，考查了三角函數的最值，屬于基本知識的考查．