Question

（本小題滿分12分）如圖4，正三棱柱中，，、分別是側(cè)棱、上的點(diǎn)，且使得折線的長最短．

（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ)  略  (Ⅱ)

解析:

：（1）∵正三棱柱中，，

∴將側(cè)面展開后，得到一個(gè)由三個(gè)正方形拼接而成的矩形（如圖），

 

從而，折線的長最短，當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線，

∴、分別是、上的三等分點(diǎn)，其中．……2分（注：直接正確指出點(diǎn)、的位置，不扣分）

連結(jié)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)、、．

由正三棱柱的性質(zhì)，平面平面，

而，平面，

平面平面，∴平面．…4分

又由（1）知，，

∴四邊形是平行四邊形，從而．

∴平面．而平面，∴平面平面．8分

（2）（法一）由（2），同理可證，平面平面．………10分

而平面，平面平面，

∴即為在平面上的射影，

從而是直線與平面所成的角．……12分

在△中，，，

，由余弦定理，

，

即直線與平面所成角的余弦值為．…14分

（法二）取中點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）及正三棱柱的性質(zhì)，可求得：

，，，．

從而，

，．…………………10分

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，所以，

即，解之，得，………………………12分

取，得，，∴從而

即直線與平面所成角的正弦值為，

∴直線與平面所成角的余弦值為． …………14分