Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物，2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》，其中規(guī)定：居民區(qū)中的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米．某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

組別	PM2.5（微克/立方米）	頻數(shù)（天）	頻率
第一組	（0，15]	4	0.1
第二組	（15，30]	12	0.3
第三組	（30，45]	8	0.2
第四組	（45，60]	8	0.2
第五組	（60，75]	4	0.1
第六組	（75，90]	4	0.1

（Ⅰ）求該樣本的平均數(shù)的估計(jì)值，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)，并說明理由；
（Ⅱ）從第五組和第六組的8天中任取2天，求取出2天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度都符合《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)》的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,頻率分布表

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用組中值×頻數(shù)，先求出去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為40.5（微克/立方米），進(jìn)而可判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)．
（Ⅱ）設(shè)A_i為第五組的第i天，B_i為第六組的第i天，i=1、2、3、4，列舉出從8天任取2天的所有情況和滿足“取出2天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度都符合《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)》”的情況數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為：
7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）
因?yàn)?0.5＞35，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，
故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)．
（Ⅱ）設(shè)A_i為第五組的第i天，B_i為第六組的第i天，i=1、2、3、4
則從此8天任取2天的情況有：
A₁A₂，A₁A₃，A₁A₄，A₁B₁，A₁B₂，A₁B₃，A₁B₄，
A₂A₃，A₂A₄，A₂B₁，A₂B₂，A₂B₃，A₂B₄，
A₃A₄，A₃B₁，A₃B₂，A₃B₃，A₃B₄，
A₄B₁，A₄B₂，A₄B₃，A₄B₄，
B₁B₂，B₁B₃，B₁B₄，
B₂B₃，B₂B₄，
B₃B₄，共28種，
記“取出2天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度都符合《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)》”為事件A，
其中符合條件的有：A₁A₂，A₁A₃，A₁A₄，A₂A₃，A₂A₄，A₃A₄，共6種．
所以，所求事件A的概率P（A）=

6

28

=

3

14

，
故取出2天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度都符合《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)》的概率為

3

14

．

點(diǎn)評：本題主要考查頻率分布表、古典概型、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識．