Question

(本小題滿分12分)

如圖，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB＝120°，PM＝AC＝1，BC＝2，異面直線AM與直線PC所成的角為60°.

（Ⅰ）求二面角M－AC－B大小的正切值；

（Ⅱ）求三棱錐P－MAC的體積.

 

Answer 1

（1）（2）

解析:

方法一：（Ⅰ）取BC的中點N，連結(jié)MN.

由已知，PMCN，則MNPC，所以MN⊥平面ABC.                           

過點N作NH⊥AC，交AC的延長線于H，連結(jié)MH，

由三垂線定理知，AC⊥MH.

所以∠MHN為二面角M－AC－B的平面角.                                 (3分)

連結(jié)AN，在△ACN中，由余弦定理，得.

由已知∠AMN＝60°，在Rt△ANM中，.                   (6分)

在Rt△CHN中，.                                      

在Rt△MNH中，.

故二面角M－AC－B的正切值是.                                          (8分)

（Ⅱ）因為四邊形PCNM為正方形，MN⊥平面ABC，則

.      (12分)

方法二：（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，過點C作CB的垂線，

按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.                                 (1分)

設(shè)點，由已知可得，點，

，則.

因為直線AM與直線PC所成的角為60°，則

，即.

解得z₀＝1，從而.                        (3分)

設(shè)平面MAC的一個法向量為n，則，即.

取，則n.                                                

又m＝(0，0，1)為平面ABC的一個法向量，設(shè)向量m與n的夾角為θ，

則.

從而，.                                   (7分)

顯然，二面角M－AC－B的平面角為銳角，故二面角M－AC－B的正切值是.(8分)

（Ⅱ）因為a＝(1，0，0)為平面PCM的一個法向量，，則點A到平面PCM的距離.                            (10分)

又PC＝PM＝1，則.     (12分)