Question

4．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=2，則滿足$\frac{1001}{1000}＜\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}＜\frac{11}{10}$的n的最大值是（　�。�

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 推導(dǎo)出${a_2}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$，從而數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，進(jìn)而${S_n}=2-2•{（\frac{1}{2}）^n}$，由此得到$\frac{1}{1000}＜{（\frac{1}{2}）^n}＜\frac{1}{10}$，從而能求出n的最大值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=2，①
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁+S₁=2，得${a_2}=\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，有2a_n+S_n-1=2，②
①②兩式相減得${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$．
再考慮到${a_2}=\frac{1}{2}{a_1}$，所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，故有${S_n}=2-2•{（\frac{1}{2}）^n}$．
因此原不等式足$\frac{1001}{1000}＜\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}＜\frac{11}{10}$化為$\frac{1001}{1000}＜\frac{{2-2•{{（\frac{1}{2}）}^{2n}}}}{{2-2•{{（\frac{1}{2}）}^n}}}＜\frac{11}{10}$，化簡(jiǎn)得$\frac{1}{1000}＜{（\frac{1}{2}）^n}＜\frac{1}{10}$，
得n=4，5，6，7，8，9，所以n的最大值為9．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列不等式的項(xiàng)數(shù)n的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．