Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-

1

2

）x+c（a≠0）過坐標原點，且在x=1處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=lnx-f（x）f′（x），求g（x）的最大值及相應的x值；
（3）對于任意正數(shù)x，恒有f（x）+f（

1

x

）-2≥（x+

1

x

）•lnm，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=ax²+（b-

1

2

）x+c（a≠0）過坐標原點可得f（0）=c=0，從而求導f′（x）=2ax+（b-

1

2

），從而得到f′（1）=2a+（b-

1

2

）=1且f（1）=a+b-

1

2

=0；從而解得；
（2）化簡g（x）=lnx-f（x）f′（x）=lnx-2x³+3x²-x；求導g′（x）=

(x-1)(6x2+1)

x

；從而求最值；
（3）x＞0時，不等式x²+

1

x2

-（x+

1

x

）-2≥（x+

1

x

）•lnm恒成立，令x+

1

x

=t，（t≥2），則lnm≤t-

4

t

-1；從而求得．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+（b-

1

2

）x+c（a≠0）過坐標原點，
∴f（0）=c=0，
∴f′（x）=2ax+（b-

1

2

），
由函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為x-y-1=0知，
f′（1）=2a+（b-

1

2

）=1且f（1）=a+b-

1

2

=0；
解得a=1，b=-

1

2

；
∴f（x）=x²-x．
（2）g（x）=lnx-f（x）f′（x）=lnx-2x³+3x²-x；
∵g′（x）=

(x-1)(6x2+1)

x

；
∴當x∈（0，1）時，g（x）單調(diào)遞增；當x∈（1，+∞）時，g（x）單調(diào)遞減．  
∴當x=1時，g（x）有最大值，且g_max（x）=0；
（3）x＞0時，不等式x²+

1

x2

-（x+

1

x

）-2≥（x+

1

x

）•lnm恒成立，
令x+

1

x

=t，（t≥2），則lnm≤t-

4

t

-1；
∴l(xiāng)nm≤（t-

4

t

-1）_min=-1；
∴0＜m≤

1

e

．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，同時考查了換元法的應用，屬于中檔題．