Question

2014年男足世界杯在巴西舉行，為了爭奪最后一個小組賽參賽名額，甲、乙、丙三支國家隊要進行比賽，根據(jù)規(guī)則：每兩支隊比賽一場，共賽三場；每場比賽勝者得3分，負者得0分，沒有平局，獲得第一名的隊伍將奪得這個參賽名額．甲勝乙的概率為

2

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

5

．
（1）求甲獲第一名且丙獲第二名的概率：
（2）設(shè)在該次比賽中，丙得分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）甲獲第一，則甲勝乙且甲勝丙，丙獲第二，則丙勝乙，由此能求出甲獲第一名且丙獲第二名的概率．（2）ξ的可能取值為0，3，6，分別求出相應(yīng)的概率之后，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（1）甲獲第一，則甲勝乙且甲勝丙，
∴甲獲第一的概率為：

2

3

×

1

4

=

1

6

，
丙獲第二，則丙勝乙，其概率為1-

1

5

=

4

5

，
∴甲獲第一名且丙獲第二名的概率p=

1

6

×

4

5

=

2

15

．
（2）ξ的可能取值為0，3，6，
甲兩場比賽全輸?shù)母怕蕿椋?br />P（ξ=0）=（1-

2

3

）（1-

1

4

）=

1

4

；
甲兩場比賽只勝一場的概率為：
P（ξ=3）=

2

3

(1-

1

4

)+

1

4

(1-

2

3

)=

7

12

；
甲兩場全勝的概率：
P（ξ=6）=

2

3

×

1

4

=

1

6

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	3	6
P	1 4	7 12	1 6

Eξ=0×

1

4

+3×

7

12

+6×

1

6

=

11

4

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題．