Question

已知函數f（x）=

1

|x-a|

+x²，（常數a∈R）．
（1）根據a的不同取值，討論f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）設a=0，且t是正實數，函數f（x）在區(qū)間[t，+∞） 上單調遞增，試根據函數單調性的定義求出t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求f（x）的定義域，{x|x≠a}，a=0時，顯然f（x）為偶函數；a≠0時，f（x）的定義域不關于原點對稱，所以f（x）是非奇非偶函數；
（2）x＞0時，f（x）=

1

x

+x2，根據單調性的定義，設任意x₁，x₂∈[t，+∞），且x₁＜x₂則f（x₁）-f（x₂）＜0，從而可得到1＜x₁x₂（x₁+x₂）在[t，+∞）上恒成立．而可以求得x1x2(x1+x2)＞2t3，所以便有1≤2t³，解該不等式即得t的取值范圍．

解答： 解：（1）定義域為{x|x≠a}；
①當a=0時，f（x）=

1

|x|

+x2，f（-x）=

1

|x|

+x2=f(x)；
所以f（x）為偶函數；
②當a≠0時，定義域不關于原點對稱；
所以f（x）既不是奇函數也不是偶函數；
（2）x＞0時，f(x)=

1

x

+x2，此時f（x）在[t，+∞）（t＞0）上單調遞增；
∴任取0＜t≤x₁＜x₂，有：
f(x1)-f(x2)=

1

x1

+x12-

1

x2

-x22=(x2-x1)•

1-x1x2(x1+x2)

x1x2

＜0；
所以1-x₁x₂（x₁+x₂）＜0 恒成立，即1＜x₁x₂（x₁+x₂）；
∵x1x2＞t2＞0，x₁+x₂＞2t＞0；
∴x1x2(x1+x2)＞2t3；
所以2t³≥1，即t≥

3	1 2

；
∴t的取值范圍為[

3	1 2

，+∞)．

點評：考查函數奇偶性的定義，以及奇偶函數定義域的特點，以及函數單調性定義的運用．