Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD
（1）求證：AB⊥平面PAD；
（2）求直線PC與底面ABCD所成角的大��；
（3）設(shè)AB=1，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平面PAD⊥底面ABCD以及AB⊥AD即可證得AB⊥平面PAD；
（2）先取AD的中點(diǎn)為O，得PO⊥AD；再結(jié)合平面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥底面ABCD連接CO，∠PCO為直線PC與底面ABCD所成的角，然后在Rt△PCO中求出∠PCO即可．
（3）先取BC中點(diǎn)為E，連接OE，先根據(jù)條件把點(diǎn)D到平面PBC的距離轉(zhuǎn)化為AD這一條線上任意一點(diǎn)到平面PBC的距離；再結(jié)合平面POE⊥平面PBC，作OF⊥PE于F，求出OF的長(zhǎng)即為點(diǎn)D到平面PBC的距離．
解答：解：（1）平面PAD⊥底面ABCD
又AB⊥AD由面面垂直的性質(zhì)定理得，
AB⊥平面PAD----------------------------------（4分）
（2）取AD的中點(diǎn)為O，則PO⊥AD 
又平面PAD⊥底面ABCD，
則PO⊥底面ABCD連接CO，∠PCO為直線PC與底面ABCD所成的角，
在Rt△PCO中，CO==，PO=．
tan∠PCO==，
∠PCO=arctan．------------------------------（8分）
（3）取BC中點(diǎn)為E，連接OE，
因?yàn)镻O⊥AD，AD⊥OE
∴AD⊥平面POE，
因?yàn)锽C∥AD
所以，AD∥平面PBC，故點(diǎn)D到平面PBC的距離等于AD這一條線上任意一點(diǎn)到平面PBC的距離
∴BC⊥平面POE
所以：平面POE⊥平面PBC，
在Rt△POE中，作OF⊥PE于F，則OF⊥平面PBC
則OF的長(zhǎng)即為點(diǎn)D到平面PBC的距離．
在RT△POE，PO=，OE=1，PE==．
∴•PO•OE=•PE•OF⇒OF==．
∴點(diǎn)D到平面PBC的距離為---------------------------------------------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到面的距離，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力．