【題目】已知函數(shù)是的一個極值點(diǎn).
(1)若是的唯一極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)討論的單調(diào)性;
(3)若存在正數(shù),使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)當(dāng)時, 在遞減,在上遞增,當(dāng)時, 在,上遞增,在上遞減,當(dāng)時, 在, 上遞增,在遞減, 時, 在上遞增;(3)或.
【解析】試題分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo),由是極值點(diǎn)得,由此可得,即,由函數(shù)有唯一極值點(diǎn)可得恒成立或恒成立,由恒成立得,后者不可能,故可得的取值范圍;(2)對導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行討論,分為, , 和四種情形可得導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系進(jìn)而得其單調(diào)性;(3)依據(jù)(2)中結(jié)果,當(dāng)時,當(dāng)時, 均滿足題意;當(dāng)時,根據(jù)單調(diào)性或成立即可,當(dāng)時, 滿足題意.
試題解析:(1), 是極值點(diǎn)
,故, ,
是唯一的極值點(diǎn), 恒成立或恒成立
由恒成立得,又 ,由恒成立得,而不存在最小值, 不可能恒成立.
(2)由(1)知,當(dāng)時, , ; , .
在遞減,在上遞增;當(dāng)時, , , ; , ; , , 在、上遞增,在上遞減,當(dāng)時, 在、 上遞增,在遞減。
時, 在上遞增.
(3)當(dāng)時, ,滿足題意;當(dāng)時, ,滿足題意;當(dāng)時,由(2)知需或,
當(dāng)時, ,而,故存在使得,這樣時的值域?yàn)?/span>從而可知滿足題意
當(dāng)時,得或者解得;
當(dāng)時, 可得滿足題意, 的取值范圍或.
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【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線,曲線.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求的直角坐標(biāo)方程;
(2)與交于不同的四點(diǎn),這四點(diǎn)在上排列順次為,求的值.
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【題目】我國古代太極圖是一種優(yōu)美的對稱圖.如果一個函數(shù)的圖像能夠?qū)A的面積和周長分成兩個相等的部分,我們稱這樣的函數(shù)為圓的“太極函數(shù)”.下列命題中錯誤命題的個數(shù)是( )
對于任意一個圓其對應(yīng)的太極函數(shù)不唯一;
如果一個函數(shù)是兩個圓的太極函數(shù),那么這兩個圓為同心圓;
圓的一個太極函數(shù)為;
圓的太極函數(shù)均是中心對稱圖形;
奇函數(shù)都是太極函數(shù);
偶函數(shù)不可能是太極函數(shù).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an},{bn}滿足a1=3,a2=6,{bn}是等差數(shù)列,且對任意正整數(shù)n,都有 成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ,試比較2Sn與 的大。
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【題目】已知函數(shù)且.
(1)若函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù).若存在,使不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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