Question

17．已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+3，且對任意的實數(shù)x都有f（4-x）=f（x）成立．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域；
（3）要得到函數(shù)y=x²的圖象只需要將二次函數(shù)y=f（x）的圖象做怎樣的變換得到．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的對稱軸即可求出a的值，
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域，
（3）根據(jù)圖象的平移法則即可求出答案．

解答 解：（1）∵f（4-x）=f（x），
∴f（x）對稱軸為x=2，即$\frac{a}{2}$=2，
∴a=4．
（2）∵f（x）=x²-4x+3在[0，2]上遞減，在[2，3]上遞增，
∴f（x）_min=f（2）=-1，
又f（0）=3，f（3）=0，
∴f（x）_max=f（0）=3，
∴函數(shù)f（x）的值域為[-1，3]，
（3）將函數(shù)f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1的圖象整體向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度
即可得到函數(shù)y=x²的圖象．

點評 本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，主要是對稱軸和在閉區(qū)間上的單調(diào)性問題，屬于中檔題目．