Question

已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|．
（Ⅰ）證明：|f（x）|≤3；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-log_ax（a＞0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）=|x-2|-|x-5|=

-3，x＜2 2x-7，2≤x≤5 3，x＞5

，易求其值域?yàn)閇-3，3]，從而可證|f（x）|≤3；
（Ⅱ）由函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可知，y=log_ax，（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且函數(shù)y=log_ax，（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（5，3），從而可求得a的值．

解答： （I）證明：f（x）=|x-2|-|x-5|=

-3，x＜2 2x-7，2≤x≤5 3，x＞5

，其值域?yàn)閇-3，3]，即|f（x）|≤3；
（II）解：依題意y=log_ax，（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

則函數(shù)y=log_ax，（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（5，3），
所以3=log_a5得a=

3	5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，考查作圖與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．