Question

某市A、B、C、D四所中學(xué)報(bào)名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如表所示：

中學(xué)	A	B	C	D
人數(shù)	30	40	20	10

為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報(bào)名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參加問(wèn)卷調(diào)查．
（Ⅰ）問(wèn)A，B，C，D，四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？
（Ⅱ）在參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中，從來(lái)自A，C兩所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，用ξ表示抽得A中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,分層抽樣方法,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加該高校今年自主招生的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為

50

100

=

1

2

．由此能求出應(yīng)從A，B，C，D四所中學(xué)抽取的學(xué)生人數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=log

1

2

an名學(xué)生中，來(lái)自a₁兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別為a₂．依題意得，{b_n}的可能取值為c_n+1-c_n=b_n，c₁=0，由此能求出ξ的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加該高校今年自主招生的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，
抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為

50

100

=

1

2

．
∴應(yīng)從A，B，C，D四所中學(xué)抽取的學(xué)生人數(shù)分別為15，20，10，5．  …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=log

1

2

an名學(xué)生中，
來(lái)自a₁兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別為a₂．
依題意得，{b_n}的可能取值為c_n+1-c_n=b_n，c₁=0，…（5分）
n≥2，n∈N*，

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜

3

4

，
P（ξ=0）=

C 2 10

C 2 25

=

3

20

，
P(ξ=1)=

C 1 15 C 1 10

C 2 25

=

1

2

，
P(ξ=2)=

C 2 15

C 2 25

=

7

20

．…（8分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	3 20	1 2	7 20

∴Eξ=0×

3

20

+1×

1

2

+2×

7

20

=

6

5

． …（10分）
Dξ=（0-

6

5

）²•

3

20

+（1-

6

5

）²•

1

2

+（2-

6

5

）²•

7

20

=

23

50

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．