【題目】設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)， 圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)、，求證：為定值.

【答案】(1) (2)見(jiàn)證明

【解析】

(1)由離心率為得b=c,再根據(jù)圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為得到點(diǎn)在橢圓上，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先證明當(dāng)過(guò)點(diǎn)與圓相切的切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，再證明當(dāng)過(guò)點(diǎn)與圓相線(xiàn)的切線(xiàn)斜率存在時(shí)，即得證.

(1)設(shè)橢圓的半焦距為由橢圓的離心率為，

由題知，

橢圓的方程為

易求得，點(diǎn)在橢圓上，

，解得，

橢圓的方程為.

(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)與圓相切的切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線(xiàn)的方程為，

由(1)知， ，，

，，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)與圓相線(xiàn)的切線(xiàn)斜率存在時(shí)，可設(shè)切線(xiàn)的方程為，，

，即

聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓的方程得，

，

得，

且，

綜上所述，圓上任意一點(diǎn)、 處的切線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，都有，

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過(guò)的包裹收費(fèi)元；重量超過(guò)的包裹，除收費(fèi)元之外，超過(guò)的部分，每超出（不足，按計(jì)算）需再收元.該公司將最近承攬的件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下：

包裹重量（單位： ）

包裹件數(shù)

公司對(duì)近天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表：

包裹件數(shù)范圍

包裹件數(shù)

（近似處理）

天數(shù)

以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.

（1）計(jì)算該公司未來(lái)天內(nèi)恰有天攬件數(shù)在之間的概率；

（2）（i）估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；

（ii）公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員人，每人每天攬件不超過(guò)件，工資元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且與x軸垂直的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4．

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于P，Q兩點(diǎn)，若△OPQ的面積為4，求直線(xiàn)l的斜率（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn)，若．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn)，若．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AA1＝3，點(diǎn)D，E，F，G分別是所在棱的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面BEF∥平面DA1C1；

（Ⅱ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分的體積．

附：臺(tái)體的體積，其中S和S′分別是上、下底面面積，h是臺(tái)體的高．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0），其右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為α的直線(xiàn)l，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求△OPQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積；

（ⅱ）隨著α的變化，試猜想|PQ|的取值范圍，并證明你的猜想．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】求滿(mǎn)足下列條件的橢圓或雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；

（2）雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)為，過(guò)作重直于軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，且，離心率為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年4月20日，重慶市實(shí)施高考改革方案，2018年秋季入學(xué)的高中一年級(jí)的學(xué)生將實(shí)行“”模式.即“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)所有學(xué)生必考；“1”為物理、歷史科目中選擇一科俗稱(chēng)“2選1”；“2”為再選學(xué)科，考生可在化學(xué)、生物、思想政治、地理4個(gè)科目中選擇兩科俗稱(chēng)“4選2”，選擇學(xué)科完全相同即為相同“組合”.某校高一年級(jí)有三名同學(xué)甲，乙，丙根據(jù)自己喜歡的大學(xué)和專(zhuān)業(yè)情況均選擇了物理，為了了解“4選2”選科情況老師找這三名同學(xué)來(lái)談話(huà)情況如下：

甲說(shuō)：我選了化學(xué)，但沒(méi)有選思想政治；

乙說(shuō)：我與甲有一科相同，但沒(méi)有選化學(xué)和地理；

丙說(shuō)：我與甲有相同的選科，與乙也有相同選科，但我們?nèi)齻�(gè)選的“組合”都不相同.則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.甲選了化學(xué)和地理B.丙可能選化學(xué)和思想政治

C.甲一定選地理D.丙一定選了生物和地理

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