Question

6．已知遞增的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₆=64，a₄、a₅的等差中項(xiàng)為3a₃．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{n}{{a}_{2n-1}}$，求數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件列出方程組，求出a₁，q，代入通項(xiàng)公式即可；
（2）根據(jù){b_n}的通項(xiàng)公式特點(diǎn)可知使用錯(cuò)位相減法求和．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₆=64，a₄、a₅的等差中項(xiàng)為3a₃．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{5}=64}\\{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{4}=6{a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-\frac{64}{243}}\\{q=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$．
∵{a_n}是遞增數(shù)列，∴a₁=2，q=2．
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{n}{{a}_{2n-1}}$=$\frac{n}{{2}^{2n-1}}$．
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{5}}$+$\frac{4}{{2}^{7}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{2n-3}}$+$\frac{n}{{2}^{2n-1}}$．
∴$\frac{1}{4}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{5}}$+$\frac{3}{{2}^{7}}$+$\frac{4}{{2}^{11}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{2n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$．
∴$\frac{3}{4}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+$\frac{1}{{2}^{7}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-（\frac{1}{4}）^{n}）}{1-（\frac{1}{4}）^{\;}}$-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{2n}}$）-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$．
∴T_n=$\frac{8}{9}$-$\frac{1}{9}$•$\frac{1}{{2}^{2n-3}}$-$\frac{n}{3•{2}^{2n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，弄清數(shù)列類型找到與之對(duì)應(yīng)的求和方法是關(guān)鍵．