Question

將編號(hào)為1、2、3的三個(gè)小球放入編號(hào)為甲、乙、丙的三個(gè)盒子中，每盒放入一個(gè)小球，已知1號(hào)小球放入甲盒，2號(hào)小球放入乙盒，3號(hào)小球放入丙盒的概率分別為

3

5

，

1

2

，

1

2

，記1號(hào)小球放入甲盒為事件A，2號(hào)小球放入乙盒為事件B，3號(hào)小球放入丙盒為事件C，事件A、B、C相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求事件A、B、C中至少有兩件發(fā)生的概率；
（2）用ξ表示A、B、C 事件中發(fā)生的個(gè)數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由P（A）P（B）P（

.

C

）+P（A）P（

.

B

）P（C）+P（

.

A

）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C），能求出事件A、B、C中至少有兩件發(fā)生的概率．
（2）ξ取的可能結(jié)果為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（1）事件A、B、C中至少有兩件發(fā)生的概率為：
P（A）P（B）P（

.

C

）+P（A）P（

.

B

）P（C）+P（

.

A

）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）
=

3

5

×

1

2

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

1

2

+

2

5

×

1

2

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

1

2

=

11

20

．…（6分）
（2）ξ取的可能結(jié)果為0，1，2，3，
則P（ξ=0）=P（

.

A

）P（

.

B

）P（

.

C

）=

2

5

×

1

2

×

1

2

=

1

10

，
P（ξ=1）=P（A）P（

.

B

）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（C）
=

3

5

×

1

2

×

1

2

+

2

5

×

1

2

×

1

2

+

2

5

×

1

2

×

1

2

=

7

20

，
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（

.

C

）+P（A）P（

.

B

）P（C）+P（

.

A

）P（B）P（C）
=

3

5

×

1

2

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

1

2

+

2

5

×

1

2

×

1

2

=

2

5

，
P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=

3

5

×

1

2

×

1

2

=

3

20

，…（10分）
數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

10

+1×

7

20

+2×

2

5

+3×

3

20

=

8

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查、概率、隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡單實(shí)際問題的能力，是中檔題．