Question

下列命題中，真命題是（　�。�

• A、?x∈（3，+∞），x²＞2x+1
• B、?x₀∈[0，

  π

  2

  ]，sinx₀+cosx₀≥2
• C、?x₀∈R，x₀²+x₀=-1
• D、?x∈（

  π

  2

  ，π），tanx＞sinx

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,簡易邏輯

分析：由二次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷A；運(yùn)用兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可判斷B；
由二次方程的判別式，即可判斷C；運(yùn)用第二象限的正切和正弦的符號(hào)，即可判斷D．

解答： 解：對(duì)于A．由于y=x²-2x-1=（x-1）²-2，對(duì)稱軸為x=1，在（3，+∞）遞增，
即有y＞（3-1）²-2=2恒成立，則A正確；
對(duì)于B．由于y=sinx+cosx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）=

2

sin（x+

π

4

）的最大值為

2

，則B錯(cuò)誤；
對(duì)于C．由于x²+x+1=0的判別式為1-4=-3＜0，則方程無實(shí)數(shù)解，則C錯(cuò)誤；
對(duì)于D．當(dāng)x∈（

π

2

，π）時(shí)，tanx＜0，sinx＞0，即tanx＜sinx．則D錯(cuò)誤．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查全稱性命題和存在性命題的真假，注意運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性和二次方程的判別式，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．