在直角坐標(biāo)系xOy中,點M到點F1,0),F(xiàn)2,0)的距離之和是4,點M的軌跡C與x軸的負(fù)半軸交于點A,不過點A的直線l:y=kx+b與軌跡C交于不同的兩點P和Q,
(1)求軌跡C的方程;
(2)當(dāng)時,求k與b的關(guān)系,并證明直線l過定點。
解:(1)∵點M到,的距離之和是4,
∴M的軌跡C是長軸為4,焦點在x軸上焦距為的橢圓,
其方程為,

(2)將y=kx+b,代入曲線C的方程,整理得,
因為直線l與曲線C交于不同的兩點P和Q,
所以,  ①
設(shè),
,  ②
,  ③
顯然,曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點A(-2,0),
所以,
,得,
將②、③代入上式,整理得,
所以,即b=2k或,
經(jīng)檢驗,都符合條件①
當(dāng)b=2k時,直線l的方程為y=kx+2k,
顯然,此時直線l經(jīng)過定點(-2,0)點,即直線l經(jīng)過點A,與題意不符;
當(dāng)時,直線l的方程為
顯然,此時直線l經(jīng)過定點點,且不過點A;
綜上,k與b的關(guān)系是:,且直線l經(jīng)過定點點.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,點M為C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點,若
OA
OB
=0
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點P(2cosx+1,2cos2x+2)和點Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動點P在射線OA上運動,動點Q在y軸的正半軸上運動,△POQ的面積為2
3

(1)求線段PQ中點M的軌跡C的方程;
(2)R1,R2是曲線C上的動點,R1,R2到y(tǒng)軸的距離之和為1,設(shè)u為R1,R2到x軸的距離之積.問:是否存在最大的常數(shù)m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數(shù))
(I)求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程,并說明它表示什么曲線;
(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左右兩個焦分別為F1,F(xiàn)2.過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點,且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的一個頂點為B(0,-b),是否存在直線l:y=x+m,使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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