Question

6．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=a，AA₁=2a，E，F(xiàn)分別是棱AD，CD的中點．
（1）求異面直線BC₁與EF所成角的大小；
（2）求四面體CA₁EF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接A₁C₁，由E，F(xiàn)分別是棱AD，CD的中點，可得EF∥AC，進一步得到EF∥A₁C₁，可知∠A₁C₁B為異面直線BC₁與EF所成角．然后求解直角三角形得答案；
（2）直接利用等體積法把四面體CA₁EF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐A₁-EFC的體積求解．

解答 解：（1）連接A₁C₁，
∵E，F(xiàn)分別是棱AD，CD的中點，∴EF∥AC，則EF∥A₁C₁，
∴∠A₁C₁B為異面直線BC₁與EF所成角．
在△A₁C₁B中，由AB=a，AA₁=2a，得${C_1}B={A_1}B=\sqrt{5}a$，${A_1}{C_1}=\sqrt{2}a$，
∴cos∠A₁C₁B=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴異面直線BC₁與EF所成角的大小為$arccos\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）${V_{C-{A_1}EF}}={V_{{A_1}-EFC}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\frac{a}{2}•\frac{a}{2}•2a=\frac{a^3}{12}$．

點評 本題考查異面直線所成的角，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．