Question

平面上定點(diǎn)F（0，1）和定直線(xiàn)l：y=-1，P為該平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為Q，且(

PF

+

PQ

)•(

PF

-

PQ

)=0．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交軌跡C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，交直線(xiàn)l于點(diǎn)N，已知

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，求證：λ1+λ2為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）方法一、設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則動(dòng)點(diǎn)Q（x，-1），運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)即可得到；
方法二、運(yùn)用平方差公式，結(jié)合斜率的平方即為模的平方，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，即可得到軌跡方程；
（2）運(yùn)用平面幾何的知識(shí)：相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合斜率共線(xiàn)知識(shí)，以及拋物線(xiàn)的定義，即可得到定值0．

解答： 解：（1）方法一、設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則動(dòng)點(diǎn)Q（x，-1），
即有

PF

+

PQ

=（-x，1-y）+（0，-1-y）=（-x，-2y），

PF

-

PQ

=（-x，2），
（

PF

+

PQ

）•（

PF

-

PQ

）=x²-4y=0，
即有x²=4y，即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
方法二、由于（

PF

+

PQ

）•（

PF

-

PQ

）=0，
則

PF

2-

PQ

2=0，即有|

PF

|=|

PQ

|，
即P到定點(diǎn)F的距離等于到定直線(xiàn)l的距離，
由拋物線(xiàn)的定義，可知P的軌跡為拋物線(xiàn)，且F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)，
即有軌跡方程為x²=4y；
（2）證明：如圖，由于

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，
可得，λ₁λ₂＜0，
于是

| NA |

| NB |

=-

λ1

λ2

•

| AF |

| BF |

，①
過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為A₁，B₁，
則

| NA |

| NB |

=

|AA1|

|BB1|

=

| AF |

| BF |

．②
由①②可得λ₁+λ₂=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的定義和性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查軌跡方程的求法，屬于中檔題．