Question

已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），OH⊥AB于H點(diǎn)．試求點(diǎn)H的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要求橢圓方程，只需求出a，b的值，由橢圓的離心率為，知，，由橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為1，可知，a-c=1，再根據(jù)a²=b²+c²，就可求出a，b得到橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，直線l方程，再令直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，求出x₁+x₂，x₁x₂，根據(jù)且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），OH⊥AB于H點(diǎn)．用x₁，x₂表示H點(diǎn)坐標(biāo)，把參數(shù)消掉，即可得到點(diǎn)H的軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意知：，a-c=1，a²=b²+c²，解得a=2，b²=3．
故橢圓的方程為．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）若l⊥x軸，可設(shè)H（x，0），因OA⊥OB，則A（x，±x）．由，得，即．
若l⊥y軸，可設(shè)H（0，y），同理可得．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
則．．由OA⊥OB，知x₁x₂+y₁y₂=0．故 ，即7m²=12（k²+1）（記為①）．
由OH⊥AB，可知直線OH的方程為．聯(lián)立方程組，得 （記為②）．將②代入①，化簡(jiǎn)得．綜合（1）、（2），可知點(diǎn)H的軌跡方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，以及消參法求軌跡方程，做題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析．