Question

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=BC=BB′=a，∠ABC=90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．
（I）求證：A′F⊥AB′．
（II）當(dāng)三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B-B′F-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）連接AB′，A′B，利用線面垂直的判定證明AB′⊥面A′FB，即可證得A′F⊥AB′；
（II）求得三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時(shí)，E、F分別為AB與BC的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出二面角B-B′F-E的余弦值．

解答：（I）證明：連接AB′，A′B
由題設(shè)知側(cè)面ABB′A′為正方形，∴AB′⊥A′B，
又CB⊥AB，CB⊥BB′，AB∩BB′=B
∴CB⊥側(cè)面ABB′A′，∴CB⊥AB′∴FB⊥AB′
∵A′B∩FB=B
∴AB′⊥面A′FB
∵A′F?面A′FB
∴A′F⊥AB′
（II）設(shè)AE=x，則BE=a-x
∴三棱錐B′-BEF的體積為

1

6

a(a-x)x≤

a3

24

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

a

2

時(shí)取等號(hào)，此時(shí)E、F分別為AB與BC的中點(diǎn)． 
以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），A（a，0，0），C（0，a，0），B′（0，0，a），E（

a

2

，0，0），F(xiàn)（0，

a

2

，0）

BA

為平面BB′F的一個(gè)法向量，且

BA

=（a，0，0），
設(shè)平面EB′F的法向量為

n

=(x，y，z)
由

n • B′E =0 n • EF =0

得

ax 2 -az=0 - ax 2 + ay 2 =0

取z=1，則

n

=(2，1，1)
∴cosθ=

n • BA

| n || BA |

=

2a

6 a

=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以直三棱柱為載體主要考查空間中的線線、線面、面面之間的平行與垂直關(guān)系，第二問(wèn)主要考查簡(jiǎn)單的二面角的計(jì)算，屬于中檔題．