Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R都滿足：f（a·b）=af（b）+bf（a）.

（1）求f（0），f（1）的值；

（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（3）f（2）=2，u_n=（n∈N），求數(shù)列{u_n}的前n項(xiàng)的和S_n.

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0 由f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1）， 得f（1）=0. （2）f（x）是奇函數(shù) 證明：因?yàn)?i>f（1）=f［（－1）2］=－f（－1）－f（－1）=0 所以f（－1）=0 f（－x）=f（－1·x）=－f（x）+xf（－1）=－f（x）. 因此，f（x）為奇函數(shù) （3）解法一：由f（a2）=af（a）+af（a）=2af（a） f（a3）=a2f（a）+af（a2）=3a2f（a） 猜測f（an）=nan－1f（a）. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n=1時(shí)，f（a1）=1·a0·f（a），公式成立； ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，f（ak）=kak－1f（a）成立， 那么當(dāng)n=k+1時(shí) f（ak+1）=akf（a）+af（ak）=akf（a）+kakf（a）=（k+1）akf（a），公式仍成立. 由上兩步可知，對任意n∈N，f（an）=nan－1f（a）成立. 所以 因?yàn)?i>f（2）=2，f（1）=f（2·）=2f（）+f（2）=0 所以f（）=－f（2）=－ un=（－）·（）n－1（n∈N） 因此（n∈N） 解法二：當(dāng)ab≠0時(shí)， 令g（x）=，則g（a·b）=g（a）+g（b） 故g（an）=ng（a） 所以f（an）=an·g（an）=nang（a）=nan－1f（a） 所以un= （以下同解法一）