Question

【題目】如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取CE的中點(diǎn)G，連FG、BG．

∵F為CD的中點(diǎn)，

∴GF∥DE且GF= DE．

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB．

又AB= DE，∴GF=AB．

∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．

∵AF平面BCE，BG平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

（2）證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，

∴AF⊥CD．

∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，

∴DE⊥AF．

又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．

∵BG∥AF，

∴BG⊥平面CDE．

∵BG平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE

【解析】（1）取CE的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG．由已知條件推導(dǎo)出四邊形GFAB為平行四邊形，由此能證明AF∥平面BCE．（2）由等邊三角形性質(zhì)得AF⊥CD，由線面垂直得DE⊥AF，從而AF⊥平面CDE，由平行線性質(zhì)得BG⊥平面CDE，由此能證明平面BCE⊥平面CDE
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．