5.今年我校高中部在全市初三學(xué)生中進(jìn)行自主招生試點,通過面試招錄35名優(yōu)秀初三畢業(yè)生,第一輪面試共有從易到難的A、B、C、D四個問題,規(guī)則如下:
(1)每位參加者都必須按問題A、B、C、D順序作答,直至答題結(jié)束;
(2)每位參加者計分器的初始分?jǐn)?shù)都是100分,答對問題A加10分,答對問題B加20分,答對問題C加30分,答對問題D加60分,答錯任意一題減20分;
(3)每回答一題,計分器顯示累計分?jǐn)?shù),當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于80分時,答題結(jié)束,直接淘汰出局;
(4)當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于140分時,答題結(jié)束,直接進(jìn)入下一輪;
(5)當(dāng)答完四題,累計分?jǐn)?shù)仍不足140分時,答題結(jié)束,淘汰出局.
現(xiàn)有某學(xué)生甲對問題A、B、C、D答對的概率分別為$\frac{3}{4}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.
(Ⅰ)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率;
(Ⅱ)用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望(均值).

分析 (Ⅰ)設(shè)A、B、C、D分別表示第1、2、3、4個問題用Mi(i=1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個問題回答正確,記“甲同學(xué)進(jìn)入下一輪”為事件K,由$P(K)=P({M_1}{M_2}{M_3}+\overline{M_1}{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}\overline{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4}+\overline{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4})$,能求出甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率.
(Ⅱ)隨機(jī)變量ξ的取值為ξ=2,3,4,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和甲同學(xué)答題個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)A、B、C、D分別表示第1、2、3、4個問題
用Mi(i=1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個問題回答正確
用${\overline M_i}(i=1,2,3,4)$表示甲同學(xué)第i個問題回答錯誤
由題意得$P({M_1})=\frac{3}{4}$、$P({M_2})=\frac{1}{2}$、$P({M_3})=\frac{1}{3}$、$P({M_4})=\frac{1}{4}$,(2分)
記“甲同學(xué)進(jìn)入下一輪”為事件K,
則$P(K)=P({M_1}{M_2}{M_3}+\overline{M_1}{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}\overline{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4}+\overline{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4})$
=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$,
∴甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率為$\frac{1}{4}$.(6分)
(Ⅱ)隨機(jī)變量ξ的取值為ξ=2,3,4,(7分)
ξ=2表示回答兩道題都錯,淘汰出局,$P(ξ=2)=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$,(9分)
ξ=3表示回答三道題答題結(jié)束,包括M1M2M3,${M_1}\overline{M_2}\overline{M_3}$,
∴$P(ξ=3)=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{3}{8}$,(11分)
$P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=\frac{1}{2}$,(12分)
則隨機(jī)變量ξ的分布列為:

ξ234
P$\frac{1}{8}$$\frac{3}{8}$$\frac{1}{2}$
$E(ξ)=2×\frac{1}{8}+3×\frac{3}{8}+4×\frac{1}{2}=\frac{27}{8}$
即甲同學(xué)答題個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為$\frac{27}{8}$.(14分)

點評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用.

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