已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對任意xÎR，f(x+T)=Tf(x)成立．

（1）函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M？說明理由；

（2）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（a>0，且a¹1）的圖像與y=x的圖像有公共點，證明：f(x)=axÎM；

（3）若函數(shù)f(x)=sinkxÎM，求實數(shù)k的取值范圍．

 

答案：
解析：

解：對于非零常數(shù)T，f(x+T)=x+T，Tf(x)=Tx．因為對任意xÎR，x+T=Tx不能恒成立，所以f(x)=xÎM．

（2）證明：因為函數(shù)f(x)=ax(a>0且a¹1)的圖像與函數(shù)y=x的圖像有公共點，

所以方程組：有解，消去y，得ax=x，

顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T．

于是對于f(x)=ax有f(x+T)=ax+T=aT×ax=T×ax=Tf(x)故f(x)=axÎM．

（3）解：當(dāng)k=0時，f(x)=0，顯然f(x)=0ÎM．當(dāng)k¹0時，因為f(x)=sinkxÎM，所為存在非零常數(shù)T，對任意xÎR，有f(x+T)=Tf(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx．因為k¹0，且xÎR，kx+kTÎR，于是sinkxÎ[-1，1]，sin(kx+kT)Î[-1，1]，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx．成立．

只有T=±1，當(dāng)T=1時，sin(kx+k)=sinkx成立，則k=2mp，mÎZ．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M？說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
∈M，求a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)y=2x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點，證明：函數(shù)f（x）=2x+x2∈M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函數(shù)f（x）=x是否屬于集合M？說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f（x）=ax∈M；
（3）若函數(shù)f（x）=sinkx∈M，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=
k2
+f（x）恒成立．
（1）判斷一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合M；
（2）證明函數(shù)f（x）=log2x屬于集合M，并找出一個常數(shù)k；
（3）已知函數(shù)f（x）=logax（ a＞1）與y=x的圖象有公共點，證明f（x）=logax∈M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體；
①當(dāng)x∈[0，+∞）時，函數(shù)值為非負(fù)實數(shù)；
②對于任意的s、t∈x[0，+∞），λ＞0，都有
f(x)+λf(t)
1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)
在三個函數(shù)f1（x）=x-1，f2(x)=2x-1，f3(x)=ln
x+1
中，屬于集合M的是
f3（x）
f3（x）
（寫出您認(rèn)為正確的所有函數(shù)．）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)三模）已知集合M是滿足下列兩個條件的函數(shù)f（x）的全體：①f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為[
a
2
 ， 
b
2
]．若函數(shù)g(x)=
x-1
+m，g（x）∈M，則實數(shù)m的取值范圍是
(0 ， 
1
2
]
(0 ， 
1
2
]
．

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