Question

如圖，設(shè)拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F₁，焦點(diǎn)為F₂；以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，離心率為

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的交點(diǎn)為P，延長(zhǎng)PF₂交拋物線于點(diǎn)Q，M是拋物線C₁上一動(dòng)點(diǎn)，且M在P與Q之間運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若|PF₂|=5且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為

2

3

m，求面積△MPQ的最大值．

Answer 1

分析：（1）：當(dāng)m=3時(shí)，y²=12x，可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），結(jié)合已知可求c及e=

c

a

=

1

2

，可求a，再由b²=a²-c²可求b，進(jìn)而可求橢圓方程
（2）由xp=

2m

3

及|PF₂|=xp+m=

5m

3

可求m，此時(shí)拋物線方程為y²=12x，F(xiàn)₂（3，0），P（2，2

6

），從而可求直線PQ的方程，聯(lián)立

y=-2 6 (x-3) y2=12x

，可求Q（

9

2

，-3

6

），及PQ，設(shè)點(diǎn)M（

t2

12

，t）到直線PQ的距離為d，由題意可知t∈(-2

6

，2

6

)，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=

| 6 6 t2+t-6 6 |

24+1

=

6

30

|(t+

6

2

)2+

75

2

|，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求d的最大，代入可求MPQ面積的最大值

解答：解：（1）：當(dāng)m=3時(shí)，y²=12x，F(xiàn)₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）…（1分）
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=3，又e=

c

a

=

1

2

，所以a=6，b²=27
所以橢圓C₂方程為

x2

36

+

y2

27

=1（4分）
（2）∵xp=

2m

3

∴|PF₂|=xp+m=

5m

3

又|PF₂|=5∴m=3
此時(shí)拋物線方程為y²=12x，F(xiàn)₂（3，0），x_p=2…（6分）
又P在x軸上方，P（2，2

6

）
∴直線PQ的斜率為：KPF2=-2

6

∴直線PQ的方程為：y=-2

6

（x-3）…（8分）
聯(lián)立 

y=-2 6 (x-3) y2=12x

，得2x²-13x+18=0
∵直線PQ的斜率為kPQ=-2

6

＜0，由圖知x＞2
所以x=

9

2

代入拋物線方程得y=-3

6

，即Q（

9

2

，-3

6

）
PQ=

(2- 9 2 )2+(2 6 +3 6 )2

=

25

2

∵2x²-13x+18=0
∴x1+x2=

13

2

，x1x2=9
PQ=

1+(2 6 )2

|x1-x2|=5

(x1+x2)2-4x1x2

=5

( 13 2 )2-4×9

=

25

2

…（11分）
設(shè)點(diǎn)M（

t2

12

，t）到直線PQ的距離為d，
∵M(jìn)在P與Q之間運(yùn)動(dòng)，∴t∈(-2

6

，2

6

)
d=

| 6 6 t2+t-6 6 |

24+1

=

6

30

|(t+

6

2

)2+

75

2

|
當(dāng)t=-

6

2

，d_max=

6

30

•

75

2

=

5 6

4

   …（14分）
即MPQ面積的最大值為

1

2

×

25

2

×

5 6

4

=

125 6

16

      …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．本題主要考查運(yùn)算，整個(gè)題目的解答過(guò)程看起來(lái)非常繁瑣，注意運(yùn)算．