Question

【題目】已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公差和公比都是2，若對(duì)滿足m+n≤5的任意正整數(shù)m，n，均有am+an=am+n成立． （I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）若bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵對(duì)滿足m+n≤5的任意正整數(shù)m，n，均有am+an=am+n成立． ∴m=n=1時(shí)，2a1=a2=a1+2．
m=1，n=2時(shí)，可得a1+a2=a3=a1+2，解得a2=2，a1=1．
∴n為奇數(shù)時(shí)，an=1+ =n，n為偶數(shù)時(shí)，an=2× = ．
∴an= ．
（II）bn= ，∴n為奇數(shù)時(shí)，bn= = ．
n為偶數(shù)時(shí)，bn= ．
因此：n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn= + = + = ﹣ ﹣ ．
∴n為奇數(shù)時(shí)，Tn=Tn﹣1+bn= ﹣ + = ﹣ ﹣ ．
【解析】（1）對(duì)滿足m+n≤5的任意正整數(shù)m，n，均有am+an=am+n成立．可得：m=n=1時(shí)，2a1=a2=a1+2．m=1，n=2時(shí)，可得a1+a2=a3=a1+2，解得a2=2，a1=1．分奇偶項(xiàng)即可得出．（2）bn= ，可得n為奇數(shù)時(shí)，bn= = ．n為偶數(shù)時(shí)，bn= ．因此：n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn= + ． n為奇數(shù)時(shí)，Tn=Tn﹣1+bn ， 即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．