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8.如圖,已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0),離心率為12.過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)(A,B不是橢圓C的頂點(diǎn)),點(diǎn)D在橢圓C上,且AD⊥AB.
(1)求橢圓C的右準(zhǔn)線方程為:x=4.求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線BD、AB的斜率分別為k1,k2,求k1k2的值.

分析 (1)運(yùn)用橢圓的離心率公式和準(zhǔn)線方程,及a,b,c的關(guān)系,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)設(shè)A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),則B(-x1,-y1),運(yùn)用直線的斜率公式,由兩直線垂直的條件,可得AD的斜率,設(shè)直線AD的方程為y=kx+m(k、m≠0),代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,結(jié)合直線的斜率公式可得BD的斜率,進(jìn)而得到所求值.

解答 解:(1)離心率為12,即為e=ca=12,
右準(zhǔn)線方程為:x=4,即為a2c=4,
由b2=a2-c2,解方程可得a=2,b=3,
則橢圓的方程為x24+y23=1;
(2)設(shè)A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),則B(-x1,-y1),
∵kAB=y1x1,AD⊥AB,∴直線AD的斜率k=-x1y1,
設(shè)直線AD的方程為y=kx+m(k、m≠0),代入橢圓方程,
消去y整理得:(b2+a2k2)x2+2ma2k2x+a2m2-a2b2=0,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=-2ma2k22+a2k2,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m22+a2k2,
由題可知:x1≠-x2,∴k1=y1+y2x1+x2=-2ka2=2a2y1x1=2a2k2,
即有k1k2的值為2a2
由e=ca=12,可得a22a2=14,
2a2=34,
,即k1k2的值34

點(diǎn)評 本題是一道直線與橢圓的綜合題,考查橢圓方程的求法,以及橢圓的性質(zhì),運(yùn)算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題

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