Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足，。

（1）設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；
（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（3）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M， 使△F₁MF₂的面積S=b²。若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
由P在橢圓上，得
 =

由，知
所以=。
（2）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為
當(dāng)=0時(shí)，點(diǎn)（a，0）和點(diǎn)（-a，0）在軌跡上
當(dāng)||≠0且時(shí)，由得
又
所以T為線段F₂Q的中點(diǎn)
在△QF₁F₂中，
所以有
綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是。
（3）C上存在點(diǎn)M（x₀，y₀）使S=b²的充要條件是

由③得
由④得
所以當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=
當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M。
當(dāng)時(shí)，
由


得。