Question

已知函數(shù)f（x）=loga(a-ax)（a＞1）．
（1）求f（x）的定義域、值域，并判斷f（x）的單調性；
（2）解不等式f^-1（x²-2）＞f（x）．

Answer 1

分析：（1）為使函數(shù)有意義，需滿足真數(shù)大于0，從而可確定函數(shù)定義域；根據(jù)loga(a-ax)＜log_aa=1，可得函數(shù)的值域；利用單調性的定義可判斷f（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)；
（2）求出函數(shù)f（x）=loga(a-ax)的反函數(shù)，將f^-1（x²-2）＞f（x）轉化為f（x²-2）＞f（x），利用函數(shù)的單調性，即可得到結論．

解答：解：（1）為使函數(shù)有意義，需滿足a-a^x＞0，即a^x＜a，又a＞1，∴x＜1，即函數(shù)定義域為（-∞，1）．
又由loga(a-ax)＜log_aa=1，
∴f（x）＜1，
∴函數(shù)的值域為（-∞，1）．
設x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=loga(a-ax1)-loga(a-ax2)=loga

a-ax1

a-ax2

＞log_a1=0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)．          …（6分）
（2）設y=loga(a-ax)，則a^y=a-a^x，∴a^x=a-a^y，∴x=loga(a-ay)．
∴f（x）=loga(a-ax)的反函數(shù)為f^-1（x）=loga(a-ax)（x＜1）．
由f^-1（x²-2）＞f（x），得f（x²-2）＞f（x），
∴

x2-2＜x x2-2＜1 x＜1

解得-1＜x＜1．
故所求不等式的解為{x|-1＜x＜1}．                     …（12分）

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域與值域，考查函數(shù)的單調性，考查反函數(shù)，考查不等式的解法，確定函數(shù)的單調性是解題的關鍵．