Question

如圖，一個圓環(huán)O直徑為4m，通過鐵絲CA₁，CA₂，CA₃，BC（A₁，A₂，A₃是圓上三等分點）懸掛在B處，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并距天花板2m，記四段鐵絲總長為y（m）．
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系：
（ⅰ）設(shè)∠CA₁O=θ（rad），將y表示為θ的函數(shù)，并寫出函數(shù)定義域；
（ⅱ）設(shè)BC=x（m），將y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)定義域；
（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系，求鐵絲總長y的最小值．（精確到0.1m，取

2

=1.4）

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）（i）由題意，求出CA₁、BC的表達(dá)式，即得函數(shù)y的解析式；
（ii）由BC得出CO，求出CA₁，即得函數(shù)y的解析式；
（2）由（i）求出y′，利用導(dǎo)數(shù)求出y的最小值，即得鐵絲總長的最小值．

解答： 解：（1）（i）由題意，CA₁=CA₂=CA₃，
∵OA₁=2，∴CA₁=

2

cosθ

，OC=2tanθ，BC=2-2tanθ，
∴y=2-2tanθ+3×

2

cosθ

=2+

6-2sinθ

cosθ

；
∵BC＞0，∴tanθ＜1，∴θ∈（0，

π

4

），
∴y=2+

6-2sinθ

cosθ

，θ∈（0，

π

4

）；
（ii）∵BC=x，∴CO=2-x，CA₁=

22+(2-x)2

=

x2-4x+8

，
∴y=x+3

x2-4x+8

，x∈（0，2）；
（2）由（i）得，y′=

(-2cosθ)cosθ-(6-2sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

6sinθ-2

cos2θ

，
令y′=0，得sinθ=

1

3

；
∵θ∈（0，

π

4

），∴sinθ∈（0，

2

2

），∴

1

3

∈（0，

2

2

）；
設(shè)sinθ₀=

1

3

，θ₀∈（0，

π

4

），
∵x∈（0，θ₀）時，y′＜0，x=θ₀時，y′=0，x∈（θ₀，

π

4

）時，y′＞0；
∴當(dāng)sinθ=

1

3

時，y取得極小值，也是最小值；
此時，cosθ=

1-sin2θ

=

2 2

3

，
y=4

2

+2≈7.6（m）；
∴鐵絲總長y的最小值為7.6m．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，解題時應(yīng)列出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是綜合題．