Question

已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足：PA與PB的斜率之積為3．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）記點(diǎn)F（﹣2，0），曲線E上的任意一點(diǎn)C（x₁，y₁）滿足：x₁＜﹣1，x₁≠﹣2且y₁＞0．
①求證：∠CFB=2∠CBF；
②設(shè)過點(diǎn)C的直線x=my+b與軌跡E相交于另一點(diǎn)D（x₂，y₂）（x₂＜﹣1，y₂＜0），若∠FCB與∠FDB互補(bǔ)，證明代數(shù)式3m²﹣4b的值為定值，并求出此定值．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
∴ ， ，
∵PA與PB的斜率之積為3，
∴ ，x≠±1，
∴ ．
（2）①設(shè)∠CFB=α，∠CBF=β，β為銳角， 
則tanα= ，tanβ= ， ，
∴tan2β= = = =tanα．
②由題意C（x₁，y₁），y₁＞0，D（x₂，y₂），y₂＜0，
聯(lián)立 ，得（3m²﹣1）y²+6mby+3b²﹣3=0，
則△=12（b²+3m²﹣1）＞0， ， ，
∵k= ，∴ ，∴3m²﹣1＜0，
故 ，
設(shè)∠DFB=γ，∠DBF=θ，
∵ ，tan ， ，
∴tan2θ= = =﹣ =tanγ，
∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），
∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，
∵α，2β∈（0，π），
∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，
又∠DFB=2∠DBF，
∴∠FCB與∠FDB互補(bǔ)，即∠FCB+∠FDB=π，
∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π，則 ，
由到角公式，得 = ， ∴ = ，
即 ，
∴3m²﹣1=4b+4，
∴3m²﹣4b=5（定值）．