Question

設a＜1，集合，，.

（1）求集合D（用區(qū)間表示）；

（2）求函數(shù)在D內(nèi)的極值點．

 

Answer 1

【答案】

（1）i)當0<a<時，D＝A∩B＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)；

ii)當a≤0時，D＝(x₂，＋∞)．

（2）f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增．因此f(x)在D內(nèi)沒有極值點．

【解析】(1)解本小題的關鍵是令h(x)＝2x²－3(1＋a)x＋6a，根據(jù)Δ，然后根據(jù)a的值分類討論，求出h(x)>0的解集，從而可確定D.

(2)先求出f′(x)＝6x²－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a),然后再根據(jù)(1)中a在不同取值下對應的D，確定f(x)的極值.

解：（1）x∈D⇔x>0且2x²－3(1＋a)x＋6a>0.

令h(x)＝2x²－3(1＋a)x＋6a，Δ．

①當<a<1時，Δ<0，所以∀x∈R，h(x)>0，所以B＝R.于是D＝A∩B＝A＝(0，＋∞)．

②當a＝時，Δ＝0，此時方程h(x)＝0有唯一解，x₁＝x₂＝＝＝1，

所以B＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．于是D＝A∩B＝(0,1)∪(1，＋∞)．

③當a<時，Δ>0，此時方程h(x)＝0有兩個不同的解x₁＝，x₂＝.

因為x₁<x₂且x₂>0，所以B＝(－∞，x₁)∪(x₂，＋∞)．

又因為x₁>0⇔a>0，所以

i)當0<a<時，D＝A∩B＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)；

ii)當a≤0時，D＝(x₂，＋∞)．

（2）f′(x)＝6x²－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．

當a<1時，f(x)在R上的單調(diào)性如下表：

①當<a<1時，D＝(0，＋∞).由表可得，x＝a為f(x)在D內(nèi)的極大值點，x＝1為f(x)在D內(nèi)的極小值點．

②當a＝時，D＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x＝為f(x)在D內(nèi)的極大值點．

③當0<a<時，D＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)．

因為x₁＝＝≥ [3＋3a－(3－5a)]＝2a>a且x₁<<1，

x₂＝＝>＝1，

所以a∈D,1∉D.

由表可得，x＝a為f(x)在D內(nèi)的極大值點．

④當a≤0時，D＝(x₂，＋∞)且x₂>1.

由表可得，f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增．因此f(x)在D內(nèi)沒有極值點．